单量子比特门

量子门

到目前为止，我们仅从抽象角度讨论了量子门，即它们是操作量子比特状态的运算。现在让我们正式地看看它是如何工作的。

一个向量代表一个量子态。我们唯一能对这个向量进行的操作是在状态空间中旋转它。由于归一化约束，我们无法改变它的长度。

矩阵在变换中起着关键作用。我们可以将向量的旋转看作状态空间中的变换。每个旋转都可以用矩阵变换来表示。通过执行矩阵乘法，我们可以将这种变换应用于向量。

我们希望量子门是可逆的。这可以通过将量子门表示为酉矩阵来实现。

一个复数方阵是酉矩阵，如果其共轭转置也是它的逆矩阵。

换句话说，对状态应用这样的变换，再应用它的共轭转置（逆变换），就会将状态向量恢复到原始位置。可以将其想象为一次顺时针旋转，接着一次等量的逆时针旋转。我们在状态空间中会回到原点。布洛赫球在这里将起到重要作用，用于可视化这些旋转。

泡利门

这些量子门基于泡利自旋矩阵。我们无需深入探讨为何称为泡利自旋。只需关注这些门对量子比特的影响即可。

X门

这是非门的量子等价物。其定义如下：

$X=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$

我们知道它会将 $|0\rangle$ 状态转换为 $|1\rangle$，反之亦然。让我们从数学上观察这一操作：

$X|0\rangle=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} = |1\rangle$

$X|1\rangle=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} = |0\rangle$

这很直接。然而，我们也必须考察这些门对叠加态的影响。取一个任意的叠加态 $|\phi\rangle$，并对其应用 X 门：

$|\phi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$

$X|\phi\rangle=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}\alpha \\\beta\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\beta \\\alpha\end{bmatrix} = \beta|0\rangle+\alpha|1\rangle$

我们可以将其理解为交换叠加态中各分量的振幅。

从视觉上看，X门的操作可以被视为在布洛赫球的X轴上进行 $\pi$ 弧度的旋转。

Y门

泡利-Y门定义如下： $Y=\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}$

理解这个门最简单的方式是将其视为在布洛赫球的Y轴上进行 $\pi$ 弧度的旋转。

如果你在三维空间中想象这个旋转，会发现该门同样将 $|0\rangle$ 状态转换为 $|1\rangle$，反之亦然，但有一个细微差别：它还对这些状态施加了一个全局相位。让我们具体看一下：

$Y|0\rangle=\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\i\end{bmatrix} = i|1\rangle$

$Y|1\rangle=\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-i \\0\end{bmatrix} = -i|0\rangle$

还记得我们说过，我们并不真正关心全局相位，因为它在测量时没有影响。像 $i$ 或 $-i$ 这样的值的平方结果都是 1，完全不影响测量特性。因此，我们可以忽略全局相位。不过，这个门在处理叠加态时非常有用。

Z门

Z门也被称为相位翻转门。其定义如下：

$Z=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$

与前两个门类似，这个门也可以看作是在布洛赫球的Z轴上进行 $\pi$ 弧度的旋转。它将 $|1\rangle$ 状态的相位从 $+1$ 变为 $-1$，反之亦然。让我们看看具体效果：

$Z|0\rangle=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} = |0\rangle$

$Z|1\rangle=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\-1\end{bmatrix} = -|1\rangle$

同样，你可能会注意到 $-1$ 是结果态的全局相位，因此我们并不真正关心它。从布洛赫球的旋转角度来看，这些态原本就在Z轴上，所以如数学计算所示，它们保持不变。

关键概念在于当此门作用于叠加态时。以 $|+\rangle$ 态为例：

\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$$ $$Z|+\rangle=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$$ $$Z|+\rangle = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} $$ $$Z|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$$ 对 $|1\rangle$ 分量的相位翻转导致了 **相对相位** 为 -1。这使得 $|+\rangle$ 转变为 $|-\rangle$。我们也可以通过观察**布洛赫球**上的旋转来验证这一点。 ### 哈达玛门 你已经等待很久了。从一开始我们就一直在讨论叠加态，现在终于到了了解如何首次创建叠加态的时候。 哈达玛门 $H$ 在应用于 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$ 状态时，会产生一个**等概率叠加态**。让我们实际演示一下。其定义如下： $$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$$ 将其应用于 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 状态，得到以下结果： $$H|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} = |+\rangle$$ $$H|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} = |-\rangle$$ 这很直接。现在让我们看一个更有趣的现象：我们将首次看到**破坏性干涉**的作用。我们知道这些门是可逆的，因此如果我们再次对上述结果应用哈达玛门，应该能回到 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$。 当我们用狄拉克符号（bra-ket notation）来看时，这一点变得尤为清晰。矩阵乘法方法虽然简单易懂，但让我们先用狄拉克符号来展示第一次哈达玛门的应用： $$H|0\rangle=|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$$ 现在对结果态应用第二次哈达玛门。它将分别作用于叠加态的各个分量： $$H|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\space H|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\space H|1\rangle$$ $$H|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle\end{bmatrix} + \frac{1}{\sqrt{2}}\space \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle\end{bmatrix}$$ $$H|+\rangle=\frac{1}{{2}}|0\rangle + \frac{1}{{2}}|1\rangle +\frac{1}{{2}}|0\rangle - \frac{1}{{2}}|1\rangle $$ $$H|+\rangle=\frac{1}{{2}}|0\rangle + \frac{1}{{2}}|0\rangle $$ $$H|+\rangle=|0\rangle$$ 你刚刚看到的就是量子力学中**干涉**现象背后的数学原理。$|1\rangle$ 分量具有相反的**相对相位**（+1 和 -1），因此相互抵消，只剩下 $|0\rangle$ 分量。这真是美妙——如此简单的数学表达式，却能解释**干涉**现象的复杂本质。 我们也可以在**布洛赫球**上可视化哈达玛门的操作。它相当于先绕Z轴旋转 $\pi$ 弧度，再绕Y轴旋转 $\frac{\pi}{2}$ 弧度。