最少骑士移动

描述

我们有一个无限的棋盘，坐标范围从负无穷到正无穷。我们的骑士起始于坐标 (0, 0)。

骑士在任意时刻有八种可能的移动方式。它以“L”形移动，即可以先垂直方向移动两格，再水平方向移动一格；或者先水平方向移动两格，再垂直方向移动一格。

你需要找出骑士从原点 (0, 0) 移动到目标坐标 (x, y) 所需的最少步数。我们假设给定的坐标始终可达，并且满足约束条件 |x| + |y| <= 300。

例如，当输入坐标为 (5, 5) 时，你需要找出骑士从原点到达该坐标的最少步数。在这种情况下，程序应输出 4，因为骑士需要四步才能到达目标位置。

编程练习

Ruby

1def minimum_knight_moves(x, y)
2    # 请在此处编写代码
3end

解决方案

注意，骑士向正负坐标以及各轴方向的移动具有对称性。到达正负坐标所需的步数是相同的。骑士在任意时刻都可以朝八个方向移动，通过将以下偏移量加到当前位置：[{1, 2}, {2, 1}, {-1, 2}, {1, -2}, {-1, -2}, {-2, -1}, {-2, 1}, {2, -1}]。

因此，我们可以避免处理负坐标，将解法集中在第一象限，保持坐标为正值。原点固定不变，我们可以利用这一点来转换输入坐标。取坐标的绝对值作为起点。这样就能明确移动方向。此时，我们只需考虑两个方向，即加上以下偏移量：[{-1, -2}, {-2, -1}]，并只探索坐标的绝对值。

以下是实现此解决方案的方法：

1. 取坐标的绝对值 (x, y)。
2. 手动初始化一个哈希表，记录到达原点所需最少步数。哈希表以坐标为键，最少步数为值。
3. 从输入坐标开始，以深度优先的方式回溯至原点。
4. 如果某个坐标已被访问过，则直接返回其值；否则，继续探索骑士可移动的下一个坐标。
5. 选择步数最少的路径，并回溯至输入坐标。

让我们回顾一下解决方案：

Ruby

1def minimum_knight_moves(x, y) 
2    x, y = y, x
3
4    moves = {[0, 0] => 0, [1, 1] => 2, [2, 0] => 2, [0, 2] => 2, [1, 0] => 3, [0, 1] => 3}
5    def dfs(x, y, moves)
6        if !moves.include? [x, y] 
7            moves[[x, y]] = [dfs((x - 1).abs(), (y - 2).abs(), moves), dfs((x - 2).abs(), (y - 1).abs(), moves)].min() + 1
8        end
9        return moves[[x, y]]
10    end
11    return dfs(x, y, moves)
12end
13
14
15# 测试代码
16p(minimum_knight_moves(2, 1))
17p(minimum_knight_moves(2, 0))
18p(minimum_knight_moves(3, 1))
19p(minimum_knight_moves(5, 5))

复杂度分析

时间复杂度

我们处理的是从原点到 [x, y] 的一个子矩阵。原点固定，可能需要遍历所有格子。因此时间复杂度为 $O(\|X\| * \|Y\|)$。

空间复杂度

可能需要存储所有格子的步数信息，因此空间复杂度也是二次的。