如何生成一个基本的正弦波

掌握数字信号处理（DSP）工具箱的第一步是从一个基本的正弦信号开始。

正弦波

作为时间 $t$ 的函数，一个实数正弦波表示为：

$$x(t) = A \cos(2\pi f t+\phi)$$

该信号由三个参数决定：

• 幅度 $A$
• 频率 $f$（单位：每秒周期数），或角频率 $\omega = 2\pi f$（单位：弧度/秒），对应的时间周期为 $T = \frac{1}{f}$ 或 $\frac{2\pi}{\omega}$
• 相位 $\phi$

通常使用余弦波是出于惯例，因为正弦波本质上也是余弦波的一种特殊相位形式。

$$\sin 2\pi f t = \cos \left(2\pi f t - 90^\circ\right)$$

下面展示了一个基础正弦波，其参数为 $A=1$、$f=1$、$\phi=0$：

示例

让我们学习如何生成基本信号。

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as pl
3
4figWidth = 20
5figHeight = 10
6
7# 生成一个余弦信号
8
9fs = 1000  # 采样率
10Ts = 1/fs  # 采样间隔
11
12f = 10
13T = 1/f
14A = 1
15phi = 0
16
17nCycles = 2  # 修改此值可改变周期数量
18
19t = np.arange(0, nCycles*T, Ts)
20
21s = A*np.cos(2*np.pi*f*t + phi)
22
23
24# 绘制信号
25
26fig, ax = pl.subplots(1, figsize=(figWidth, figHeight))
27
28ax.plot(t, s, linewidth=2, color='r')
29
30ax.set_xlim(0, nCycles*T)
31ax.set_xticks(np.linspace(0, nCycles*T, 5))
32ax.set_ylim(-A, A)
33ax.set_yticks(np.linspace(-A, A, 5))
34ax.tick_params(labelsize=18)
35
36# 隐藏右侧和上侧坐标轴线
37ax.spines['right'].set_visible(False)
38ax.spines['top'].set_visible(False)
39
40ax.set_title("一个连续时间正弦波", fontsize=18)
41ax.set_xlabel("t", fontsize=18)
42ax.set_ylabel("$x(t)$", fontsize=18)
43ax.grid()
44
45# 保存图像
46pl.savefig('output/cosine.png')

运行上述代码后，可以看到一个余弦波，其幅度、周期和相位由代码中高亮的部分定义。尝试修改几个参数，观察图形的变化。

幅度和频率（或周期）对波形的影响直观且明显。然而，相位——它与信号的时间偏移相关——是这里最难以理解的概念。