复数从何而来？

让我们回顾一下复数在历史上是如何产生的。这将有助于我们理解在信号处理应用中复信号的使用。数字信号处理（DSP）算法广泛使用复数，以利用信号的相位信息，而不仅仅是幅度。

X轴

数学的最初应用包括税收和贸易。这促使数系逐步演化如下：

自然数与整数

人类天生具有计数能力，例如数水果或房屋等可数物体。因此，数字 $1, 2, 3, \cdots$ 被称为自然数。整数是在自然数的基础上包含零的数集。

有理数与无理数

由于许多量需要被分割成多个部分（例如一块田地），这导致了有理数的发现——它们可以表示为分数形式。实数轴上剩余的空缺则由无理数填补，如 $\pi$ 或 $\sqrt{2}$。

至此，正实数轴已完整构建。这些数的镜像对称延伸出负实数轴。

负数

负数的概念通过引入“相反”意义并结合方向来融入数学体系，例如借贷、东西方向等。这完成了整个实数轴的构建。

与负数类似，y轴上的不对称性为复数的出现打开了大门。

Y轴

当数学应用于日常问题时，我们会遇到多项式关系，例如： $y = 3x - 8$

更复杂的物理现象（如重力加速度）则需要用 $x$ 的二次或更高次幂来描述。

$y = 2x^2 + 3x - 1$

这是针对整数幂的情况。然而，当试图在负数一侧绘制 $x$ 的分数幂时，左侧区域却出现了空白！

• 为了恢复x轴的对称性，人们创建了一条方向相反的新实数轴。
• 为了恢复y轴的对称性，引入了一个新的维度，其基础是 $-1$ 的幂。该维度的代表性单位数被选为 $(-1)^{0.5}$，因为指数 $0.5$ 介于 $0$ 和 $1$ 之间。

数学家用符号 $i$ 表示这个代表性数，而工程师则选用字母 $j$。

$j = \sqrt{-1}$

我们得出结论：将一个数乘以 $j$，相当于将其在平面上逆时针旋转 $90^\circ$！欲了解更多关于复数起源背后的逻辑，请参阅参考文献[1]。