从连续时间到离散时间

现实生活中的大多数信号，例如心跳、脑电波、声音、音乐以及无线通信波形等，都是连续时间信号。为了使用数字信号处理（DSP）技术对这类信号进行处理，必须将其转换为一组数值序列。这一过程可以通过周期性采样来实现，借助一种称为**模数转换器（ADC）**的设备完成。

时域

考虑一个随时间变化的模拟信号 $x(t)$，如下面图示。图中还展示了该信号的频谱。

在数字信号处理中，需要将该信号转换为一系列样本，即转换为离散时间版本 $x[n]$。这可以通过以每 $T_s$ 秒为间隔对 $x(t)$ 进行采样来实现。该过程在数学上表示为：

记作 $T_s$ 的时间间隔称为采样间隔，其倒数即为采样率。

采样率是我们最常听到的 DSP 参数之一，例如音频应用中的 44.1 kHz 和 48 kHz。这意味着每秒记录 44100 或 48000 个语音信号的样本！

选择采样率 $f_s$，或等价地选择采样间隔 $T_s$，是设计 DSP 系统的关键环节。运行以下代码并观察采样后的信号：

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as pl
3
4figWidth = 5
5figHeight = 7.5
6
7f = 1
8T = 1/f
9A = 1
10phi = 0
11
12fs1 = 5 # 1st sample rate
13Ts1 = 1/fs1 # 1st sample time
14fs2 = 10 # 2nd sample rate
15Ts2 = 1/fs2 # 2nd sample time
16fs3 = 20 # 3rd sample rate
17Ts3 = 1/fs3 # 3rd sample time
18
19# 1st sample rate
20
21t1 = np.arange(0, T, Ts1)
22
23s1 = A*np.cos(2*np.pi*f*t1 + phi)
24
25
26fig, axs = pl.subplots(3, figsize=(figWidth, figHeight))
27
28axs[0].vlines(t1, ymin=s1, ymax=0, color='g', linewidth=1)
29axs[0].plot(t1, s1, linewidth=1, color='b')
30axs[0].plot(t1, s1, 'o', color='r', markersize=7)
31
32# Axes lines
33axs[0].axhline(y=0, color='k', linewidth=2)
34axs[0].axvline(x=0, color='k', linewidth=2)
35
36
37axs[0].set_xlim(-Ts3, T+Ts3)
38axs[0].set_xticks(np.linspace(0, T, 5))
39axs[0].set_ylim(-1.1, 1.1)
40axs[0].set_yticks(np.linspace(-1, 1, 5))
41
42# Hide the right and top spines
43axs[0].spines['right'].set_visible(False)
44axs[0].spines['top'].set_visible(False)
45
46
47axs[0].set_title("$f_S=5$")
48axs[0].set_xlabel("n")
49axs[0].set_ylabel("$x_1[n]$")
50axs[0].grid()
51
52
53# 2nd sample rate
54
55t2 = np.arange(0, T, Ts2)
56
57s2 = A*np.cos(2*np.pi*f*t2 + phi)
58
59axs[1].vlines(t2, ymin=s2, ymax=0, color='g', linewidth=1)
60axs[1].plot(t2, s2, linewidth=1, color='b')
61axs[1].plot(t2, s2, 'o', color='r', markersize=7)
62
63# Axes lines
64axs[1].axhline(y=0, color='k', linewidth=2)
65axs[1].axvline(x=0, color='k', linewidth=2)
66
67
68axs[1].set_xlim(-Ts3, T+Ts3)
69axs[1].set_xticks(np.linspace(0, T, 5))
70axs[1].set_ylim(-1.1, 1.1)
71axs[1].set_yticks(np.linspace(-1, 1, 5))
72
73# Hide the right and top spines
74axs[1].spines['right'].set_visible(False)
75axs[1].spines['top'].set_visible(False)
76
77
78axs[1].set_title("$f_S=10$")
79axs[1].set_xlabel("n")
80axs[1].set_ylabel("$x_2[n]$")
81axs[1].grid()
82
83t1 = np.arange(0, T, Ts1)
84
85s1 = A*np.cos(2*np.pi*f*t1 + phi)
86
87
88# 3rd sample rate
89
90t3 = np.arange(0, T, Ts3)
91
92s3 = A*np.cos(2*np.pi*f*t3 + phi)
93
94axs[2].vlines(t3, ymin=s3, ymax=0, color='g', linewidth=1)
95axs[2].plot(t3, s3, linewidth=1, color='b')
96axs[2].plot(t3, s3, 'o', color='r', markersize=7)
97
98# Axes lines
99axs[2].axhline(y=0, color='k', linewidth=2)
100axs[2].axvline(x=0, color='k', linewidth=2)
101
102
103axs[2].set_xlim(-Ts3, T+Ts3)
104axs[2].set_xticks(np.linspace(0, T, 5))
105axs[2].set_ylim(-1.1, 1.1)
106axs[2].set_yticks(np.linspace(-1, 1, 5))
107
108# Hide the right and top spines
109axs[2].spines['right'].set_visible(False)
110axs[2].spines['top'].set_visible(False)
111
112
113axs[2].set_title("$f_S=20$")
114axs[2].set_xlabel("n")
115axs[2].set_ylabel("$x_3[n]$")
116axs[2].grid()
117
118fig.tight_layout()
119
120# saving figure
121pl.savefig('output/cosine-sampled.png')

有趣的是，上述信号绘制了三种不同的采样率：

• $f_s=5$ 样本/秒
• $f_s=10$ 样本/秒
• $f_s=20$ 样本/秒

采样率 $f_s=20$ 样本/秒似乎效果最好，因为它呈现出最平滑的波形。但这真的是最优选择吗？

事实上，这并非数字信号处理科学家所采用的方式。系统的采样率并不是这样随意选择的。

频域

让我们思考一下采样过程在频域中会产生什么影响。以正弦信号为例：

其以 $f_s = 1/T_s$ 样本/秒的速率进行采样后的离散版本为：

令人惊讶的是，连续频率 $f$ 被采样率 $f_s$ 缩放，形成了一个离散频率 $\frac{f}{f_s}$。这个离散频率才是我们在实际 DSP 应用中真正使用的频率量，而非原始的连续频率。