DFT 线性

线性意味着输入信号之和的DFT等于各个输入信号DFT之和。我们来具体分析一下。

推导

假设两个输入信号 $x_1[n]$ 和 $x_2[n]$ 的DFT分别为 $X_1[k]$ 和 $X_2[k]$。在这种情况下，它们之和的DFT等于各自DFT之和。

$$\begin{align*} \text{DFT }x_1[n]\quad \rightarrow\quad X_1[k]\\ \text{DFT }x_2[n]\quad \rightarrow\quad X_2[k] \end{align*}$$

这意味着：

$$\text{DFT }\Big\{y[n]=x_1[n]+x_2[n]\Big\}\quad \rightarrow\quad Y[k]=X_1[k]+X_2[k]$$

这是因为：

$$\begin{align*} Y[k]&=\sum_{n=0}^{N-1}\Big\{x_1[n]+x_2[n]\Big\}e^{-j2\pi\frac{k}{N}n}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}x_1[n]e^{-j2\pi\frac{k}{N}n}+\sum_{n=0}^{N-1}x_2[n]e^{-j2\pi\frac{k}{N}n}\\ &=X_1[k]+X_2[k] \end{align*}$$

这一性质使得我们可以在不进行显式计算的情况下，确定信号的DFT。

示例

以一个复数输入信号为例，如下图所示，其采样频率为 $f_s=12$ kHz。

该信号看起来非常复杂。我们使用以下代码计算其DFT并查看结果：

1import numpy as np
2from math import e
3import matplotlib.pyplot as pl
4
5figWidth = 20
6figHeight = 8
7
8# 生成信号
9
10fs = 12000 # 采样率
11Ts = 1/fs # 采样时间
12
13f1 = 1000
14T1 = 1/f1
15A1 = 2
16phi1 = 28*np.pi/180
17
18f2 = -4000
19T2 = 1/f2
20A2 = 3
21phi2 = -16*np.pi/180
22
23t = np.arange(0, T1, Ts)
24
25x1 = A1*e**(1j*(2*np.pi*f1*t + phi1)) 
26x2 = A2*e**(1j*(2*np.pi*f2*t + phi2))
27x = x1+x2
28
29
30# 绘制信号
31
32fig, axs = pl.subplots(figsize=(figWidth, figHeight))
33
34nfft = int(fs/f1)
35xf = np.fft.fft(x,nfft) # 从 0 到 2π
36xf = np.fft.fftshift(xf) # 从 -π 到 π
37k = np.arange(-nfft/2,nfft/2,1)
38print(np.abs(xf))
39axs.vlines(k, ymin=np.abs(xf), ymax=0, color='b', linewidth=2)
40axs.plot(k, np.abs(xf), 'o', color='b', markersize=10, zorder=10, clip_on=False)
41
42axs.axhline(y=0, color='k', linewidth=1)
43axs.axvline(x=0, color='k', linewidth=1)
44axs.set_xlim(min(k),max(k)+1)
45axs.set_xticks(np.arange(min(k),max(k)+1,1))
46axs.set_xlabel('$k$', fontsize=18)
47axs.grid()
48
49axs.set_ylim(0, 51)
50axs.set_yticks(np.arange(0, 51, 10))
51axs.tick_params(labelsize=18)
52
53axs.set_ylabel("$|X[k]|$", fontsize=18)
54
55fig.tight_layout()
56pl.savefig('output/dft-linearity.png', bbox_inches='tight')

如果我们记得时域中的复指数正弦信号在频域中对应的是冲激函数，那么DFT的结果就变得非常简单。

由此可以得出结论：前面展示的复数输入信号实际上仅由两个复指数正弦信号组成，分别位于频域的第 $k=1$ 和 $k=-4$ 两个频bin上。这些频bin对应的实际频率取决于采样率 $f_s$ 和DFT长度 $N$，计算公式为：

$$f = f_s \frac{k}{N}$$