最小骑士移动

描述

我们有一个无限大的棋盘，坐标范围从负无穷到正无穷。我们的骑士起始于坐标 (0, 0)。

骑士在任意时刻有八种可能的移动方式。它以“L”形移动，即可以先垂直方向移动两格，再水平方向移动一格；或者先水平方向移动两格，再垂直方向移动一格。

你需要找出骑士从原点 (0, 0) 移动到目标坐标 (x, y) 所需的最少步数。我们假设给定的坐标始终可达，并且满足约束条件 |x| + |y| ≤ 300。

例如，当输入坐标为 (5, 5) 时，你需要找出骑士从原点到达该坐标的最少移动次数。在这种情况下，程序应输出 4，因为骑士需要 4 步才能到达目标位置。

编程练习

JS

1function minimumKnightMoves(x, y){
2    // 请在此处编写你的代码
3}

解法

注意到骑士向正负坐标及各轴方向的移动具有对称性。到达正负坐标所需的步数相同。骑士在任意时刻都可以向八个方向移动，通过将以下偏移量添加到当前位置来实现：[{1, 2}, {2, 1}, {-1, 2}, {1, -2}, {-1, -2}, {-2, -1}, {-2, 1}, {2, -1}]。

因此，我们可以避免处理负坐标，将解法集中在第一象限，始终保持坐标为正值。原点固定不变，我们可以利用这一点对输入坐标进行转换。取坐标的绝对值作为起点。这样我们就能明确移动方向。此时，我们只需考虑两个方向，即通过以下偏移量移动：[{-1, -2}, {-2, -1}]。我们只探索坐标的绝对值。

以下是该解法的实现步骤：

1. 取坐标的绝对值 (x, y)。
2. 手动初始化一个映射表，记录到达原点所需最少步数。映射表以坐标为键，最少步数为值。
3. 从输入坐标出发，以深度优先的方式回溯至原点，探索所有可能的格子。
4. 如果某个坐标已被访问过，则直接返回其对应的步数；否则继续探索骑士下一步可到达的所有坐标。
5. 选择步数最少的路径，并回溯至输入坐标。

让我们回顾一下解法：

JS

1class Solution{
2    constructor(){
3        this.moves = {'0, 0': 0, '1, 1': 2, '2, 0': 2, '0, 2': 2, '1, 0': 3, '0, 1': 3}
4    }
5
6    dfs(x, y){
7        var key = x + ", " + y
8        if(key in this.moves){
9            return this.moves[key]
10        }
11        var res = Math.min(this.dfs(Math.abs(x-2), Math.abs(y-1)), this.dfs(Math.abs(x-1), Math.abs(y-2))) + 1
12        this.moves[x + ", " + y] = res
13        return res
14    }
15
16    minimumKnightMoves(x, y){
17        return this.dfs(x, y)
18    }
19}
20
21// 驱动代码
22var sol = new Solution()
23console.log(sol.minimumKnightMoves(2, 1))
24console.log(sol.minimumKnightMoves(2, 0))
25console.log(sol.minimumKnightMoves(3, 1))
26console.log(sol.minimumKnightMoves(5, 5))

复杂度分析

时间复杂度

我们处理的是从原点到 [x, y] 的一个子矩阵。原点固定，可能需要遍历所有格子。因此时间复杂度为 $O(\|X\| * \|Y\|)$。

空间复杂度

可能需要存储所有格子的移动次数，因此空间复杂度也是二次的。