最小骑士移动

描述

我们有一个从负无穷到正无穷的无限棋盘，骑士从坐标 (0, 0) 出发。

骑士在任意时刻有八种可能的移动方式。它以“L”形移动，即可以先垂直方向移动两格，再水平方向移动一格；或者先水平方向移动两格，再垂直方向移动一格。

你需要找出骑士从原点 (0, 0) 移动到目标坐标 (x, y) 所需的最少步数。我们假设给定的坐标始终可达，且满足约束条件 |x| + |y| ≤ 300。

例如，当输入坐标为 (5, 5) 时，你需要找出骑士从原点到达该坐标的最少步数。在这种情况下，程序应输出 4，因为骑士需要 4 步才能到达目标位置。

编程练习

Python

1def minimum_knight_moves(x, y):
2    # 请在此处编写你的代码
3    pass

解决方案

注意到骑士向正负坐标轴方向的移动具有对称性，到达正负坐标所需的步数相同。骑士在任意时刻都可以向八个方向移动，通过加上以下偏移量实现：[{1, 2}, {2, 1}, {-1, 2}, {1, -2}, {-1, -2}, {-2, -1}, {-2, 1}, {2, -1}]。

因此，我们可以避免处理负坐标，将问题简化为仅在第一象限中求解，始终保持坐标为正值。原点固定不变，可以通过取坐标的绝对值来转换输入坐标。这样我们就能明确移动方向。此时，我们只需考虑两个方向的移动，即加上偏移量 [{-1, -2}, {-2, -1}]，并只探索坐标的绝对值。

以下是该解决方案的实现步骤：

1. 取坐标的绝对值 (x, y)。
2. 手动初始化一个映射，记录到达原点各坐标所需的最少步数。映射的键为坐标，值为到达该坐标的最少步数。
3. 从输入坐标出发，以深度优先的方式回溯至原点。
4. 如果某个坐标已被访问过，则直接返回其对应的步数；否则，继续探索骑士可移动到的下一个坐标。
5. 选择步数最少的路径，并回溯至输入坐标。

让我们回顾一下解决方案：

Python

1def minimum_knight_moves(x, y):
2    x, y = sorted(map(abs, (x, y)))
3    moves = {(0, 0): 0, (1, 1): 2, (2, 0): 2, (0, 2): 2, (1, 0): 3, (0, 1): 3}
4    def dfs(x, y) -> int:
5        if (x, y) not in moves:
6            moves[(x, y)] = min(dfs(abs(x - 1), abs(y - 2)), dfs(abs(x - 2), abs(y - 1))) + 1
7        return moves[(x, y)]
8    return dfs(x, y)
9
10
11# 测试代码
12print(minimum_knight_moves(2, 1))
13print(minimum_knight_moves(2, 0))
14print(minimum_knight_moves(3, 1))
15print(minimum_knight_moves(5, 5))

复杂度分析

时间复杂度

我们处理的是从原点到 [x, y] 的一个子矩阵。原点固定，可能需要遍历所有格子。因此时间复杂度为 $O(\|x\| * \|y\|)$。

空间复杂度

可能需要存储所有格子的最少步数，因此空间复杂度也是二次的。