什么是命题？

简单来说，命题是一个具有特定属性的陈述句。这些属性包括：它必须断言或声明某件事情，并且必须是真或假之一，但不能同时为真和假。也就是说，命题是一个可以判断真假的陈述句。我们也会用“陈述”作为命题的同义词。下面我们通过几个例子来判断哪些句子属于命题，哪些不属于。

命题的例子

让我们先来看一个标记为 $I$ 的命题：

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• $I$：伊斯兰堡是巴基斯坦的首都。

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观察上述陈述 $I$，它声明了伊斯兰堡的特殊地位，这个声明要么为真，要么为假。

我们通常用大写字母来标记命题，这样可以在后续讨论中方便地引用不同的命题。

再看一个例子：

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• $S$：太阳围绕地球运转。

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在命题 $S$ 中，其陈述内容是太阳绕地球运行。虽然 $S$ 是一个错误的陈述，但这不是重点——关键在于这个陈述不可能同时为真和假。因此，$S$ 是一个真正的命题。

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• $P$：帕特里克的头发比亚历克斯长。

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在命题 $P$ 中，尽管我们不知道帕特里克和亚历克斯是谁，但可以确定的是，$P$ 要么为真，要么为假。因此，$P$ 是一个命题的例子。如果帕特里克确实比亚历克斯头发长，则 $P$ 为真；否则为假。

非命题的例子

现在我们来看一些不是命题的句子。

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• $J$：约翰来自阿拉斯加吗？

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$J$ 是一个疑问句，回答是“是”或“否”，但我们能否说 $J$ 是真或假？不能。问题在于，这是一个疑问句，而不是陈述句，它没有做出任何断言，而是在询问某个信息。因此，$J$ 不是命题。

关键特征

一个命题必须具备以下两个特征：

1. 它必须断言或声明某件事情。

2. 它必须具有明确的真值；即，要么为真，要么为假，但不能两者兼有。

任何缺少上述任一特征的句子都不被视为命题。命题的“真”或“假”这一属性称为它的真值。

在下面的例子中，第一个特征缺失，因此这些句子不是命题。

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• $T$：现在几点了？
• $O$：打开第二个抽屉。
• $G$：给我一点时间。

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再看一个缺少第二个特征的例子：

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• $\mathcal{E}$：这个陈述是假的。

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$\mathcal{E}$ 确实做出了某种断言，因此满足第一个条件。然而，仔细分析会发现它缺乏第二个条件——它没有明确的真值。

如果我们认为 $\mathcal{E}$ 为真，那么它声称自己是假的，这就意味着它既是真又是假，这是不可能的。另一方面，如果我们认为 $\mathcal{E}$ 为假，那么它的断言就不成立，这意味着 $\mathcal{E}$ 是真的。我们再次陷入矛盾，无法确定 $\mathcal{E}$ 的真值。因此，$\mathcal{E}$ 不是命题。要意识到这一点，需要非常细致的推理。

古希腊克里特岛的诗人埃皮米尼得斯据说曾说过：“所有克里特人都是说谎者。” 这句话被称为 埃皮米尼得斯悖论。

如果埃皮米尼得斯说的是真话，那么作为克里特人，他必须在说谎。但如果他在说谎，那么克里特人就不是说谎者。既然克里特人不是说谎者，而埃皮米尼得斯是克里特人，那他就应该在说真话。这种分析导致了一个无限的认知循环。这句话若正确理解，与我们课程中的 $\mathcal{E}$ 是同一类。

表达埃皮米尼得斯悖论的方式还有更复杂的形式。考虑以下一对句子：

$A$：陈述 $B$ 为真。

$B$：陈述 $A$ 为假。

注意：如果 $A$ 为真，那么作为真陈述，它声称 $B$ 为真，因此 $B$ 必须为真。但如果 $B$ 为真，那么它所声称的内容必须为真，即 $A$ 必须为假。假设 $A$ 为真，却得出 $A$ 为假的结论。

反之，如果 $A$ 为假，那么它所声称的内容为假，即 $B$ 为假。但如果 $B$ 为假，那么 $B$ 所声称的内容为假，这意味着 $A$ 为真。无论哪种情况，都会导致荒谬的结果。这说明 $A$ 和 $B$ 都不满足命题的要求。

这个悖论还有一个有趣的改写形式，即一道曾在数学界社交媒体上广为流传的多选题：

Q. 如果我们以相等的概率随机选择以下答案之一，选中正确答案的概率是多少？

A. 0%

B. 25%

C. 25%

D. 50%

回想一下，从四个等概率选项中随机选择，每个选项被选中的概率是 25%。假设正确答案的概率不在选项中，那么选中正确答案的概率应为 0%。但 0% 是选项之一，因此答案必须出现在选项中。那么它能是 0% 吗？不能，因为选 A（即 0%）的概率是 25%。能是 25% 吗？不能，因为 25% 出现了两次（B 和 C），选中的概率是 50%。能是 50% 吗？不能，因为 50% 只出现一次，选中的概率是 25%。因此我们得出结论：正确答案的概率并未列在选项中。此时我们意识到，这又陷入了无限的认知循环。

埃皮米尼得斯悖论是最早出现的自指语句的例子。自指是逻辑学和计算理论中的关键技术。康托尔、图灵和库尔特·哥德尔都利用自指证明了集合论、可计算性理论和逻辑学中的基本成果。这些都是各自领域中最著名的成果之一。

注意：表达疑问、感叹、愿望、请求或命令的句子不是命题。

其他例子

下面是更多命题与非命题的例子对照表：

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再看一个命题：

• $H$：大卫是快乐的。

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快乐与不快乐的状态不能共存，仅凭这一点就可以判断 $H$ 是一个命题。判断大卫是否真的快乐，就是确定命题 $H$ 的真值。判断真值可能涉及许多因素，比如测量大卫的大脑多巴胺水平，以判断他是假装快乐还是真正快乐。找出命题真值的过程可能非常繁琐，但判断一个句子是否为命题通常更为直接。

观察表格中的 $M$，不清楚我们讨论的是半径、质量还是重力。隐含的意思是半径。严谨的做法是避免歧义，但若上下文已明确，也可以依赖这种隐含含义。

再看 $W$，“今天”并未明确定义，它每天都在变化。这意味着在某一天 $W$ 为真，在另一天则为假。“今天”可能是七天中的任意一天。从这个角度看，它是一个命题函数。只有当我们对“今天”变量赋值后，它才成为一个命题。另一种观点是：无论你在哪一天读到 $W$，它总是真或假之一，因此它确实是一个命题。

区分以下两个关于给定句子的问题至关重要：

• 给定的句子是否是一个命题？

• 给定的句子是否为真？

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下图对前面讨论的各种例子进行了分类：

我们可以看到，命题 $W$、$H$ 和 $P$ 都可能为真或为假——它们的真假尚未确定。我们无法判断一个命题的真值并不影响它作为命题的身份。一个句子要成为命题，不要求我们必须能够确定其真值。

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再看一个命题：

• $N$：尼尔·阿姆斯特朗在 1954 年 4 月 1 日剪了头发。

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$N$ 是一个命题。尽管可能无法查明 $N$ 的真值，但这无关紧要。只要我们能确信 $N$ 要么为真，要么为假（但不能两者兼有），它就是一个真正的命题。

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