什么是合取？

合取是一种二元运算，因为它需要两个操作数。当两个命题通过合取运算连接时，会形成一个新的命题，其真值取决于两个操作数的真值。合取运算符的另一个名称是 AND 运算符。

示例

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考虑以下命题：

• $D$：约瑟夫正在修读离散数学课程。
• $C$：约瑟夫正在修读微积分课程。

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我们通过将 $D$ 和 $C$ 进行合取，构造一个新的命题 $J$。

• $J$：“约瑟夫正在修读离散数学课程” 且 “约瑟夫正在修读微积分课程”。

我们可以对 $J$ 进行简化，而不改变其含义。

• $J$：约瑟夫正在同时修读离散数学和微积分课程。

我们使用 $\land$ 符号来表示合取运算。因此，

$J \equiv D \land C.$

$J$ 的真值为 真，仅当 $D$ 和 $C$ 都为 真；否则为 假。

在日常语言中，合取直观地类似于“和”的意思。这正是合取也被称为逻辑“与”（AND）的原因。

真值表

设 $p$ 和 $q$ 为任意命题。
合取的准确定义是通过列出 $p \land q$ 在所有可能情况下的真值来给出的。这通过定义一个真值表来实现。我们用 T 表示 真，用 F 表示 假。真值表 列出了 $p$ 和 $q$ 所有可能的真值组合，并说明了 $p \land q$ 的结果。

定义合取的真值表如下：

在计算机科学中，真值通常用 $0$ 和 $1$ 表示，其中 $0$ 代表假，$1$ 代表真。这种表示方式称为 0/1 记法。在此记法下，$p \land q$ 的定义如下表所示：

细心的观察者可能会发现，最后一列的每一项都可以通过将前两列对应项相乘得到。因此，$p \land q$ 有时也写作 $pq$，其中乘法符号通常省略。

电路图示意

现在，我们通过电路图来展示合取的概念。以下是理解这些图的关键说明：

当 $p$ 和 $q$ 都为 假 时，两个开关均处于断开状态，电流无法到达灯泡，因此灯泡熄灭，表明 $p \wedge q$ 为假。

当 $p$ 为真、$q$ 为假时，电路不完整，灯泡熄灭，表明 $p \land q$ 为假。

同理，当 $p$ 为假、$q$ 为真时，电路也不完整，灯泡熄灭，表明 $p \land q$ 为假。

最后，当 $p$ 和 $q$ 都为真时，两个开关均闭合，电路完整，灯泡亮起，表明 $p \land q$ 为真。