在英语中，一个陈述句的谓词是指除了主语以外的所有部分。例如，考虑句子：

史密斯身高超过六英尺。

“身高超过六英尺”就是一个谓词。它只有在指定了主语之后才成为一个完整的句子。一旦我们确定了主语，这个陈述句可能为真，也可能为假。因此，谓词描述的是主语可能具有也可能不具有的某种属性。

幸运的是，在数学中，我们可以使用变量来表示未指定的主语。使用变量是一种精确表达许多思想的强大方式：这正是一阶逻辑的基础。正如我们将看到的，这种逻辑非常强大，甚至可以用它来表述数学（以及其他领域）中的若干未解难题。

什么是谓词？

在数学逻辑中，谓词是包含一个或多个变量的语句。我们可以将这些变量看作占位符。这些变量可以取自一个称为其定义域的集合中的任意值。谓词断言的是定义域中的元素可能具有也可能不具有的某种性质。要成为一个真正的谓词，每当我们将定义域中的任意值代入变量时，该谓词都必须变成一个命题。

为了更具体地理解，考虑三位学生：简、吉姆和扎因，他们参加了一门离散数学课程。假设我们想知道哪些学生在这门课中获得了A。我们可以构造如下带有变量 $x$ 的句子：

• $A(x)$：$x$ 在离散数学课程中获得了A。

“在离散数学课程中获得了A”是一个谓词。变量 $x$ 使我们能够将这个谓词用于完整句子中。$A(x)$ 不是一个命题，因为它含有变量。但当我们用某个具体值（即班级中某位学生的姓名）替换 $x$ 时，它就变成了一个命题，并具有明确的真值。在这种情况下，我们称对谓词进行了实例化。重要的是，从定义域中对变量进行的每一次实例化都应产生一个命题。

定义域必须始终清晰明确。如果存在任何歧义，我们必须明确指出定义域。对于 $A(x)$，$x$ 的定义域是注册了离散数学课程的学生。为了具体说明，我们设定义域为 $D = \{$ 吉姆, 简, 扎因 $\}$。

我们可以对 $x$ 从 $D$ 中任取一个值来实例化这个谓词。实例化 $A(x)$ 会使其变为一个具有明确真值的命题。例如，当用吉姆替换 $x$ 时，我们得到命题：

• $A($吉姆$)$：吉姆在离散数学课程中获得了A。

我们也可以将谓词可视化为一组真值。列标题是定义域中的各个值。例如，如果只有吉姆没有获得A，那么 $A($简$)$ = 真，$A($吉姆$)$ = 假，$A($扎因$)$ = 真，我们可以将 $A(x)$ 视为如下表格：

表中“真”表示该命题为真，“假”表示该命题为假。

我们再定义另一个与上述相同定义域 $D$ 的谓词。设：

• $F(x)$：$x$ 在期末考试中得分至少达到90%。

对于 $F(x)$，我们注意到：

• $x$ 是一个变量。
• $x$ 的定义域仍然是 $D$。
• 谓词描述的是定义域中元素所具备的某种属性。

如果只有扎因在期末考试中得分达到90%以上，那么 $F($扎因$)$ = 真，而 $F($简$)$ = $F($吉姆$)$ = 假。同样，我们可以用以下表格来可视化该谓词的真值：

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设：

• $P(x)$：$x > 7$，其中 $x$ 是整数。

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求 $P(4), P(-3), P(0), P(7), P(14), P(517)$ 的真值。

计算结果如下表所示：

在此例中，上述表格并不完整。我们仅确定了定义域中一部分值的真值。完整的真值表将包含无穷多个条目，每个整数对应一条。

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下面我们来看一个涉及多个变量的例子。

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考虑以下谓词：

• $P(x, y, z)$：$5x + 2y = 3z$，其中 $x, y, z$ 为整数。

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我们考察一些变量取值的可能性：

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谓词代码示例

在计算机程序中，我们常在条件语句中使用谓词。以下是一个 Python 示例代码。运行此代码可查看不同 x 值下谓词 $P(x): x < 7$ 的真值。

注意： 我们可以更改 domain 中的值，以尝试不同的 x 取值。

1domain = {14, 3, 12, -1, 0, 7}
2for x in domain:
3    if x < 7:
4        print("P(" + str(x) + ") is true.")
5    else:
6        print("P(" + str(x) + ") is false.")

说明

• 第1行： 指定变量 x 的定义域。
• 第2行： 遍历 x 的每个取值，检查谓词。
• 第3行： if 语句中的谓词为 $P(x): x < 7$。
• 第4行： 当谓词为真时执行此行。
• 第6行： 当谓词为假时执行此行。

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闰年代码示例

在以下程序中，对不同 y 值计算谓词 $L(y)$ 的真值。谓词 $L$ 定义如下：

$L(y): y \text{ 是闰年。}$

若某年能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除，则该年为闰年。

注意： 我们可以更改 domain 中的值，以尝试不同的 y 值，判断某年是否为闰年。

1domain = {2014, 2103, 1208, 2087, 1604, 714, 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2000}
2for y in domain:
3    if (y % 4 == 0 and y % 100 != 0) or (y % 400 == 0):
4        print("L(" + str(y) + ") is true because " + str(y) + " is a leap year.")
5    else:
6        print("L(" + str(y) + ") is false because " + str(y) + " is not a leap year.")

说明

• 第1行： 指定包含不同 y 值的定义域。
• 第2行： 遍历定义域中的每个 y 值，判断是否为闰年。
• 第3行： if 语句中的谓词为 $L(y): y$ 是闰年。
• 第4行： 当谓词为真时执行此行。
• 第6行： 当谓词为假时执行此行。