在进入课程的核心内容之前，我们先进行一些热身，介绍一些长期有用的概念。我们将从简要回顾所需数学知识开始。如果你对对数、大O表示法以及反证法已经熟悉，可以尝试课程中包含的互动练习，然后直接跳转到下一章关于图的内容。

注意： 一般来说，$\log_b x$ 是 $b^x$ 的逆函数，其中 $b$ 是任意正实数且 $b \neq 1$。这个常数 $b$ 被称为对数函数的底数。

对数函数的底数可以是任何大于 0 且不等于 1 的正数。为什么不能是 1？因为无论 $x$ 取何值，$1^x$ 始终等于 1，因此该函数没有明确的逆函数。同理，底数也不能为负数或零。

注意： 对数函数的定义域是所有正实数的集合。

约定

以下是关于底数为 $10$、$2$ 和 $e$（一个称为欧拉常数的无理数）的对数函数的标准记法。

1. 当对数函数的底数未明确写出时，默认底数为 $10$。例如，
   $\log x$ 表示 $\log_{10} x$。

2. 当底数为 $2$ 时，$\log_2 x$ 通常写作 $\lg x$。

3. 当底数为 $e$ 时，$\log_e x$ 写作 $\ln x$，称为 $x$ 的自然对数。

让我们观察不同底数下的对数函数表现。

注意到 $\log_{10} n$ 的取值相较于 $\log_2 n$ 增长得非常缓慢。

这种行为与对应的指数函数相反：当底数从 $2^n$ 变为 $10^n$ 时，$10^n$ 的取值会显著上升。

对数函数的性质

以下四个性质适用于任意底数 $b$（$b > 0$ 且 $b \neq 1$）的对数函数。为方便起见，这里以底数 $10$ 为例列出：

• $\log xy = \log x + \log y$

• $\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$

• $\log x^y = y \log x$

• $\displaystyle\frac{\log_k x}{\log_k y} = \log_y x \quad \text{对于任意底数 } k$

此外，还需记住：对于任意底数 $b$，都有 $\log_b 1 = 0$。