线性回归的实现

线性回归快速概述

线性回归（Linear Regression）通过确定因变量（y）与其变化的自变量（X）之间的依赖关系，绘制一条直线或平面——称为超平面（hyperplane），用于预测数据输入的目标值。在 p 维空间中，超平面是一个维度为 p−1 的子空间。

因此，在二维空间中，超平面是一维的子空间，即一条直线；在三维空间中，超平面是二维的子空间，相当于一个平面。尽管在四维或更高维空间中难以直观想象超平面，但 p−1 维的概念仍然适用。

超平面的目标是尽可能贴近已知的数据点，使其与每个数据点之间的距离最小。这意味着，如果从超平面向每个数据点作垂线（90度角），这些垂线的长度之和应小于任何其他可能超平面所对应的总距离。

在构建线性回归模型之前，首先需要处理缺失值（删除或填充），并确认所选的自变量是与因变量相关性最强的变量。同时，这些自变量之间不应存在显著的相关性。

如果两个或多个自变量之间存在较强的线性相关关系，则会出现共线性问题：当涉及两个变量时称为共线性（collinearity），涉及两个以上变量时称为多重共线性（multi-collinearity）。这会导致各个变量不再具有唯一性。

虽然共线性不会影响模型的整体预测准确性，但它会影响对各个自变量系数的计算和解释。不过，即使存在共线性，仍可较可靠地预测输出结果（即因变量）。只是此时难以判断哪些变量真正具有影响力，哪些变量是冗余的。

线性回归方程

线性回归的基本方程为：$Y = a + bX$，其中 Y 是因变量，X 是自变量，b 是直线斜率，a 是 y 轴截距。

示例

给定点集 {(1,4), (2,5), (3,6)}

可得： $\sum x=6$，
$\sum y=15$，
$\sum xy=32$，
$\sum x^2=14$

将上述值代入公式：

实现线性回归（Linear Regression）的主要步骤包括：

• 1. 导入所需库
• 1. 导入数据集
• 1. 删除无关变量
• 1. 处理含有缺失值的变量（删除或修正）
• 1. 设定自变量 x 和因变量 y
• 1. 选择并设置算法
• 1. 计算 y 轴截距和自变量系数
• 1. 进行预测
• 1. 模型评估

练习

为了演示该算法，你将编写一个线性回归模型，使用四个自变量来预测房价。通过结合每个自变量的相关系数与 y 轴截距，即可预测因变量（价格）的值。

本模型使用的数据集为墨尔本房屋数据集（Melbourne Housing Dataset），该数据源自澳大利亚墨尔本地区的房地产挂牌信息。完整数据集包含21个变量，如地址、郊区、土地面积、房间数量、价格、经度、纬度、邮政编码等。