函数

什么是函数？

一个函数就像一台输入数据并产生输出结果的机器。大多数机器都有不同的设置来调节输出结果（通常会有一个按钮面板用于调整设置），这些设置被称为函数的参数。

函数示例

例如，在 $f_{a,b}(x_1,x_2)=ax_1+bx_2$ 中，$f$ 是一个函数，$x_1$ 和 $x_2$ 是两个输入，$a$ 和 $b$ 是两个参数，而 $ax_1+bx_2$ 是函数的输出结果。

Python 中的函数

提示： 本课程使用 Python。如果你不熟悉 Python，建议先学习一些 Python 基础知识。

以下是我们在 Python 中对上述示例函数进行实验的方法：

1def f(x1, x2):
2    a, b = 2, -4
3    output = a * x1 + b * x2
4    return output
5
6x1, x2 = 5, 7
7c = f(x1, x2)
8print(c)

函数的正式定义

从数学上讲，函数是从一组输入到一组可能输出的关系，其中每个输入都唯一对应一个输出。

这意味着，如果某个对象 $x$ 属于输入集合（称为定义域），那么函数 $f$ 就将该对象 $x$ 映射到输出集合（称为陪域）中的唯一一个对象 $f(x)$。

函数输入与输出的通用性

函数的输入 $x$ 和输出 $y$ 可以是任意类型的对象，比如数组、矩阵、张量等。矩阵是一种二维数组，而张量则是具有多个维度（通常超过两个）的数组。不必过于担心这些概念，后续课程中我们会详细讲解矩阵、向量和张量。

示例：数组作为输入，标量作为输出

以下函数将输入数组的所有元素相加，并返回总和： $f([x_1, x_2, \dots, x_n]) = x_1 + x_2 + \dots + x_n$

1import numpy as np
2def f(x):
3    return np.sum(x)
4print(f(np.array([-1, 3, 4.6, 0, 9])))

示例：数组作为输入，数组作为输出

以下函数将输入数组按升序排列： $f([x_1, x_2, \dots, x_n]) = [x_{i1}, x_{i2}, \dots, x_{in}]$，其中满足 $x_{ij} \le x_{ik}$，当 $k > j$ 时成立。

1import numpy as np
2def f(x):
3    return np.sort(x)
4print(f(np.array([3, 4, 6, 1, 2, -1, 0, 9])))

函数的可视化

可视化函数有助于理解其行为。在数据分析中，可视化能更清晰地揭示输入与输出之间的关系。

多项式的可视化

让我们来可视化一些简单的多项式函数：$f(x) = x^2$ 和 $f(x) = x^3$。

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3x = np.arange(0., 5., 0.2)
4plt.plot(x, x**2, 'bs', x, x**3, 'g^')
5plt.xlabel('x'); plt.ylabel('f(x)')
6plt.legend(['x^2', 'x^3'], loc='upper left')

三维平面的可视化

三维空间中的一个平面可以看作是一个函数：$f_{a,b,c}(x_1, x_2) = ax_1 + bx_2 + c$。如果 $c = 0$，则该平面经过原点，构成一个子空间（稍后会进一步讨论）。

注意： 我们还可以通过以下应用程序与三维图像互动。启动应用后，点击“Jupyter”笔记本中的“运行”按钮。使用鼠标旋转和缩放图像。欢迎修改代码，尝试不同的参数和代码。