进位制简介与十进制系统

什么是数制系统？

早期文明的证据表明，人类已经计数很长时间了。事实上，计数是日常生活中必不可少的工具。因此，自然而然地，人类发展出了将唯一符号与特定数值相对应的系统。这些就是我们所说的数制系统。

一个数制系统应具备哪些特征？

让我们以早期文明的一个例子来说明：一位雇主和一名雇员在市场出售水果。雇主将一定数量的水果交给雇员去售卖。雇主自己手中有一堆桃子形状的珠子，其数量恰好等于他交给雇员的水果总数。

现在假设我们不想同时看到两堆珠子。我们希望只对一堆进行计数，将其量化为一个数值，然后让另一个人告诉我们另一堆的数量。接着，像之前一样，我们想比较这两个数值，判断哪个更大，或者是否相等。也许在我们的数制系统中，我们还希望知道一个数值比另一个大多少。

本质上，我们需要这个系统具备以下特点：

• 每个数值都有唯一的符号
• 系统具有一致性，数值之间可以比较
• 易于扩展

我们将逐一讨论这些特性。首先从第三个开始。

可扩展性

如果希望我们的系统被广泛使用，就不能要求每个人记住无数个符号。我们期望只需掌握一些基础知识，就能完美使用该系统。例如，在我们日常使用的数制系统中，所有超过9的数字都是由已有数字组合而成的。

一致性和可比性

如果系统具有一致性，可扩展性就很容易实现。这意味着适用于前几个数字的规则，也必须适用于后续的所有数字。

正如我们所见，可比性是一个关键因素。无论数值多大，仅通过观察其结构，并了解系统的推导规则和基本原理，就能比较两个数值的大小。

唯一性

最后，也是最重要的特性：每个数值都应有唯一的符号表示。如果没有唯一的符号，就无法建立可用的系统。

为了实现这一点，我们设定一组 ${n}$ 个基本符号，用来表示数制系统中的前 ${n}$ 个数值。后续的数值则通过遵循特定规则，由这 ${n}$ 个符号组合而成。这样既能保证唯一性，又具备内在的可扩展性和一致性。最简单的例子就是我们日常使用的十进制系统：没有任何两个数值会用相同的符号组合来表示。

十进制系统

我们将通过日常使用的十进制系统的例子，来理解如何利用 ${n}$ 个基本符号构建一个数制系统。

基本符号

十进制系统有10个基本符号，也就是10个数字，因此也称为基数为10的系统。我们在上学初期就学习了这些符号——0到9，并且也学会了如何构造更大的数字，比如10及以后的数字。

位值

在十进制系统（以及所有 ${n}$ 进制系统）中，构造数字的规则依赖于数字的位值。位值是指一个数字在其数字序列中所处位置对应的数值。

在十进制系统中，每个数字的位值从右向左按10的幂次递增。最右边的数字代表 $10^0$ 即 1，其左边的数字代表 $10^1$ 即 10，再往左的是 $10^2$ 即 100，依此类推。这是因为十进制系统以10为基数，即我们使用10个基本符号（0—9）来表示所有数字。