定点数表示法

二进制中的分数

我们已经学习了如何用二进制表示整数——正数和负数，以及如何进行二进制除法，但你可能会好奇：我们该如何表示分数？

在二进制中表示分数至关重要，因为我们在使用计算机模拟许多现实世界场景时需要处理分数。

让我们先回顾一下十进制表示非整数的方法：

对于小数点后的每一位（即单位数 $10^0$ 位置的右侧），其值等于 $\frac{1}{10^n}$。小数点后第一位的位权是 $10^{-1}$，也就是 $0.1$；第二位是 $10^{-2}$，也就是 $0.01$，依此类推。

因此，小数点左侧的位权按 $10$ 的幂递增，而右侧则按 $10$ 的幂递减。我们能否为二进制系统提出类似的方法？在二进制中表示分数有两种方法。一种是定点表示法，本课将介绍这种方法；另一种是浮点表示法，将在本章后续内容中讲解。

什么是定点表示法？

在十进制系统中，我们引入了一个符号“.”（称为基数点），用来区分哪些数字遵循 $10^n$ 的数值体系，哪些遵循 $\frac{1}{10^n}$ 的数值体系。

例如，即使数字 $34.67$ 和 $3.467$ 包含相同的数字且顺序一致，但小数点的位置不同，它们的值也完全不同。

不幸的是，即使我们在二进制中引入类似的符号（如基数点），也无法在计算机中实现。记住，二进制系统的两个状态是基于晶体管的两种工作状态。我们无法编码第三个符号。有没有解决办法？定点表示法就提供了一种方案。

从名字“定点表示法”就可以看出它的核心思想。我们仍将其明确写出：

定点表示法依赖一个预先确定的基数点。

这意味着，如果我们有一个 8 位的二进制数，并且系统已预先规定基数点位于从右往左的第二位和第三位之间，那么我们就能轻松表示分数。

在基数点位置固定的情况下，二进制数 $10001110$ 的值将与其原始二进制值完全不同。

位权

在二进制点的右侧，各位的位权为 $\frac{1}{2^n}$，其中 $n=1$ 是紧邻二进制点右侧的一位，向右依次递增。

例如：

使用转换工具练习

我们的定点转换工具采用一种特定的表示方式：将二进制点置于第四位和第五位之间。与二进制转换工具类似，它用黄色表示开启的位（1），用灰色表示关闭的位（0），并在方框下方显示当前对应的十进制数值。点击方框可切换该位的状态。你也可以关闭位权显示来挑战自己。使用该工具最多可以表示到 $15.9375$ 的数值。

自测练习！