创建一个正弦波

在本节课中，我们将学习如何生成一个正弦波并将其保存为 wav 文件。在此之前，先回顾一些基本理论。

一些定义

频率：频率是指正弦波每秒重复的次数。在本课中，我们将使用 1KHz 的频率。

采样率：大多数现实世界的信号是模拟信号，而计算机是数字设备。因此我们需要一个转换器将模拟信号转换为数字表示。关键点在于采样率，即转换器每秒对模拟信号进行采样的次数。

虽然我们现在完全在数字环境中操作，采样率的重要性相对降低，但它对于正弦波公式仍然必不可少。我们将使用 48000 这个值，这是专业音频设备常用的采样率。

正弦波公式：

$y(t) = A * sin(2 * pi * f * t)$

$y(t)$ 是我们要计算的 x 轴样本对应的 y 轴值。A 是振幅。我们稍后再讨论这一点。$\pi$ 是常数 $\pi = 3.14159$。f 是频率。t 是我们的样本。由于需要将其转换为数字形式，我们将 t 除以采样率。

振幅：通常人们会随机选择一个 A 值，比如 11。但这对我们不适用。我们生成的正弦波是浮点数，虽然这足以绘制图形，但在写入文件时无法正常工作。这是因为我们处理的是整数。查看 WAV 文件格式，它们是以 16 位短整型（short integer）存储的。如果写入浮点数，将无法正确表示。

为解决这个问题，我们必须将浮点数转换为定点数。可以通过乘以一个固定常数来实现。如何确定这个常数？一个有符号 16 位数的最大值是
$32767$（即 $2^{15} - 1$）。

最高位用于表示符号，剩下 15 位。我们把 2 的 15 次方减去 1，因为计算机从 0 开始计数。

如果我们希望达到满量程音频，应乘以 32767。但此时，要使音量达到满量程的一半，就需要使用 16000 的振幅。

绘制音频信号

我们已经设置好了所声明的变量。

在下方代码框“绘制频率波形”中，请注意第 18 行的高亮代码。

我们可以用普通的 for 循环来编写这段代码，但我们想展示列表推导式的强大功能，因为这是 Python 最强大的特性之一。

如果理解得当，下面这行代码其实很简单。让我们逐步拆解一下。最好同时打开源代码以便对照。

1）第一点是公式被放在 [] 中，这意味着最终结果会被转换成一个列表。

1[ for x in range(num_samples)]

2）range() 函数生成从 0 到 num_samples 的一系列数字。本质上，我们将遍历所有样本数量，用变量 x 从 0 到 48000。

1[np.sin(2 * np.pi * frequency * x/sampling_rate)]

3）这表示对每个生成的 x 值，都代入正弦波公式进行计算。

12 * pi * f * t

所以再看一遍第 18 行代码：

它表示在 0 到 num_samples 的范围内生成 x，对每个 x 值计算其正弦值。我们可以把这个值看作 y 轴的数值。所有这些值都会被放入一个列表中。

现在我们可以绘制出这个正弦波了。

1import numpy as np
2import wave
3import struct
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6
7def create_wav():
8    # 频率是波形每秒重复的次数
9    frequency = 1000
10
11    num_samples = 48000
12
13    # 模数转换器的采样率
14    sampling_rate = 48000.0
15
16    amplitude = 16000
17
18    sine_wave = [np.sin(2 * np.pi * frequency * x/sampling_rate) for x in range(num_samples)]
19
20    # 绘制图形
21    x = range(num_samples)
22    plt.plot(x[:300], sine_wave[:300])
23    plt.show()
24
25
26
27if __name__ == "__main__":
28    create_wav()
29    plt.savefig('output/plot.png')

创建 wav 文件

现在我们已经看到正弦波以图形方式呈现，接下来就是将其写入文件。

为此，我们将使用 Python 内置的 wave 库。首先设置参数。

1）nframes 是帧数或样本数。

2）comptype 与 compname 表示数据未压缩。

3）nchannels 是声道数，这里为 1。

4）sampwidth 是每个样本的字节宽度。

如前所述，WAV 文件通常是 16 位，即每个样本占 2 字节。

1wav_file = wave.open(file, 'w')
2
3wav_file.setparams((nchannels, sampwidth, int(sampling_rate), nframes, comptype, compname))

我们打开文件并设置参数。

1for s in sine_wave:
2    wav_file.writeframes(struct.pack('h', int(s * amplitude)))

这部分可能需要进一步解释。我们正在逐个样本地写入 sine_wave。writeframes 是用于写入正弦波数据的函数。

以上内容都很简单，接下来的代码则更复杂，需要更加专注！

1struct.pack('h', int(s * amplitude))

我们来分步解析：

1int(s * amplitude)

这里的 s 是我们要写入的 sine_wave 的单个样本。我们在此处将其乘以振幅（用于转换为定点数）。虽然可以提前完成，但这一操作在写入文件时最为关键。

目前我们拥有的只是一组数字列表。如果直接写入文件，音频播放器将无法读取。

Struct 是 Python 的一个库，用于将我们的数据打包为二进制格式。

代码中的 h 表示 16 位整数。下面我们通过 IPython 示例来理解打包的作用。

以下以 0.5 为例。我们计算 0.5 的正弦值，并通过乘以 16000 转换为定点数。如果我们直接写入文件，只会写入字符串 "7664"，这是错误的。所以我们来看看 struct 的作用：

1struct.pack('h', 7664)

在下方可运行代码组件中运行代码并观察结果。

\x 符号表示该数值为十六进制。可以看到，struct 已将数字 7664 转换为两个十六进制值：0xf0 和 0x1d。

为什么使用 0xf0 0x1d？

因为将 7664 转换为十六进制正好是 0xf01d。

为什么是两个值？

因为我们使用的是 16 位整数，无法用一个字节容纳，因此 struct 将其拆分为两个部分。

现在数值已转为十六进制，其他程序（包括我们的音频播放器）都可以正确读取。

回到我们的代码：

请查看下方代码块中的第 31–32 行。

这将把我们的正弦波样本写入文件 test.wav，并以 16 位音频格式打包。

运行以下代码，查看输出结果。

1import numpy as np
2import wave
3import struct
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6
7def create_wav():
8    # 频率是波形每秒重复的次数
9    frequency = 1000
10
11    num_samples = 48000
12
13    # 模数转换器的采样率
14    sampling_rate = 48000.0
15
16    amplitude = 16000
17    file = "output/test.wav"
18
19    sine_wave = [np.sin(2 * np.pi * frequency * x/sampling_rate) for x in range(num_samples)]
20
21
22    nframes = num_samples
23    comptype = "NONE"
24    compname = "not compressed"
25    nchannels = 1
26    sampwidth = 2
27
28    wav_file = wave.open(file, 'w')
29    wav_file.setparams((nchannels, sampwidth, int(sampling_rate), nframes, comptype, compname))
30
31    for s in sine_wave:
32        wav_file.writeframes(struct.pack('h', int(s * amplitude)))
33
34    wav_file.close()
35
36if __name__ == "__main__":
37    create_wav()

运行后，output 目录下会生成 test.wav 文件。

使用任意音频播放器（例如 Windows Media Player、VLC 等）播放该文件，应该能听到一段短暂的音调。

使用 Audacity

现在我们需要验证音调的频率是否正确。我们将使用 Audacity，一款开源音频编辑软件。Audacity 的一个有趣功能是可以分析音频文件的频率。

打开文件后，你会看到如下图像。

当音频文件在 Audacity 中打开时，可能需要多次放大才能看清频率波形。有时甚至需要放大两次才能完整显示图形。

我们看到的是一个正弦波。

注意：波形最高点约为 0.5，而最大值为 1.0。记住，我们已将 sine_wave 乘以 16000，这对应于满量程的频率图。

现在来查找频率。

可以使用“频谱图”功能查看当前图形。

可以看到峰值出现在约 1000 Hz 处，这正是我们创建 wav 文件时设定的频率。