最小骑士移动

描述

我们有一个无限的棋盘，坐标范围从负无穷到正无穷。我们的骑士起始于方格 (0, 0)。

骑士在任意时刻有八种可能的移动方式。它可以以“L”形移动，即先在任意垂直方向上移动两格，再在水平方向上移动一格；或者先在任意水平方向上移动两格，再在垂直方向上移动一格。

你需要找出骑士从原点 (0, 0) 移动到坐标 (x, y) 所需的最少步数。我们假设给定的坐标始终可达，并且满足约束条件 |x| + |y| ≤ 300。

例如，当输入坐标为 (5, 5) 时，你需要找出骑士从原点到达该坐标的最少步数。在这种情况下，程序将输出 4，因为骑士需要 4 步才能到达目标坐标。

编程练习

1defmodule Solution do
2  def minimum_knight_moves(_x, _y) do
3    # 请在此处编写你的代码
4  end
5end

解决方案

注意，骑士向正负坐标以及各轴方向的移动具有对称性。到达正负坐标所需的步数相同。骑士可以在任意时刻向八个方向移动，通过向当前位置加上以下坐标实现：[{1, 2}, {2, 1}, {-1, 2}, {1, -2}, {-1, -2}, {-2, -1}, {-2, 1}, {2, -1}]。

因此，我们可以避免处理负坐标，将解法集中在第一象限，保持坐标为正值。原点固定不变，我们可以利用这一点来转换输入坐标。取坐标的绝对值作为起点。这样就能明确移动方向。此时，我们只需考虑两个方向，即向当前坐标添加以下坐标：[{-1, -2}, {-2, -1}]。我们将仅探索坐标的绝对值。

以下是该解决方案的实现思路：

1. 取坐标的绝对值 (x, y)。
2. 手动初始化一个映射，记录到达原点所需最少步数。该映射以坐标为键，以到达原点的最少步数为值。
3. 从输入坐标开始，以深度优先的方式回溯至原点，探索所有可能的方格。
4. 如果某个坐标已被探索过，则直接返回其值；否则，继续探索骑士可移动到的下一个坐标。
5. 选择步数最少的路径，并回溯至输入坐标。

让我们回顾一下解决方案：

1defmodule Knight do
2  def dfs(x, y) do
3    moves = %{
4      {0, 0} => 0, 
5      {1, 1} => 2, 
6      {2, 0} => 2, 
7      {0, 2} => 2, 
8      {1, 0} => 3, 
9      {0, 1} => 3
10    }
11
12    x = abs(x)
13    y = abs(y)
14    {x, y} = if x > y, do: {y, x}, else: {x, y} 
15
16    cond do
17      Map.has_key?(moves, {x, y}) -> moves[{x, y}]
18      true ->
19        moves = Map.put(moves, {x, y}, min(dfs(abs(x - 1), abs(y - 2)), dfs(abs(x - 2), abs(y - 1))) + 1)
20        moves[{x, y}]
21    end
22  end
23
24  def minimum_knight_moves(x, y), do: dfs(x, y)
25end
26
27# 驱动代码
28IO.puts "-----------------------------"
29IO.puts "程序输出："
30
31IO.inspect Knight.minimum_knight_moves(2, 1)
32IO.inspect Knight.minimum_knight_moves(2, 0)
33IO.inspect Knight.minimum_knight_moves(3, 1)
34IO.inspect Knight.minimum_knight_moves(5, 5)

复杂度分析

时间复杂度

我们处理的是从原点到 [x, y] 的一个子矩阵。原点固定，可能需要遍历所有方格。因此，时间复杂度为 $O(\|X\| * \|Y\|)$。

空间复杂度

我们可能需要存储所有方格的步数信息，因此空间复杂度也是二次的。