朴素贝叶斯

在机器学习中，朴素贝叶斯（Naive Bayes） 分类器是一类简单的“概率分类器”，其基于贝叶斯定理，并对特征之间做出强独立性假设。

在开始编码之前，我们先了解一些关于贝叶斯定理的理论知识。

贝叶斯定理

在深入讨论该分类器并尝试实现代码前，我们需要先理解贝叶斯定理的基本概念。

贝叶斯定理（也称为贝叶斯法则或贝叶斯公式）描述了在已知与事件相关的某些先验条件下，该事件发生的概率。

例如，历史数据显示，每个人患疾病A的概率为10%，即 $P(A)=0.1$。在某医院的患者中，出现症状B的概率为 $P(B)=0.05$。同时，患有疾病A的患者中出现症状B的概率是0.1，即 $P(B|A)=0.1$。那么当你出现了症状B时，你患疾病A的概率是多少？使用下面的公式可以计算出结果：$0.1 \times 0.1 / 0.05 = 0.2$。

$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

另一个简单且实际的例子是电子邮件垃圾邮件过滤器。早期许多邮件服务提供商使用贝叶斯方法来过滤垃圾邮件，具体步骤如下：

• 第一步：计算语料库（全部邮件归档）中每个词出现的概率。
• 第二步：计算垃圾邮件所占的比例。
• 第三步：计算每个词在垃圾邮件中出现的概率。

$P(\text{spam}|\text{word})=\frac{P(\text{word}|\text{spam})P(\text{spam})}{P(\text{word})}$

“朴素”（naive）是什么意思？

“朴素”意味着模型中的各个特征彼此相互独立。这一假设在现实中并不成立，因为特征之间或多或少存在依赖关系。然而，这种假设极大地简化了模型结构，并且在某些情况下对模型效果影响较小。

与其他模型的比较

相比其他模型，贝叶斯方法具有一些优势：

• 训练和测试速度都非常快。
• 没有超参数需要调优。
• 实现简单，易于理解和解释。

理论部分到此结束，接下来我们进行代码实现。

使用 GaussianNB 方法建模

sklearn 提供了一组基于贝叶斯定理的监督学习算法，它们的主要区别在于对标签分布先验的假设不同，例如高斯分布或伯努利分布。

GaussianNB 实现了用于分类的高斯朴素贝叶斯算法，假设特征的似然服从高斯分布：

$P(x_{i} | y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{y}}} exp\lgroup - \frac{(x_{i}-\mu_{y})^2}{2\sigma^2_{y}} \rgroup$

其中参数 $\sigma_{y}$ 和 $\mu_{y}$ 通过最大似然估计得到。

在以下示例中，我们将使用 GaussianNB 来展示如何应用贝叶斯方法。数据加载和划分部分将不再单独说明，完整代码如下所示。创建一个朴素贝叶斯对象非常简单，只需调用 GaussianNB 并进行 fit 拟合即可。

1from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
2
3gnb = GaussianNB()
4gnb.fit(train_x, train_y)

以下是完整的代码，你可以直接运行尝试：

1import sklearn.datasets as datasets
2from sklearn.model_selection import train_test_split
3from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
4import sklearn.metrics as metrics
5
6X, y = datasets.load_breast_cancer(return_X_y=True)
7print("breast cancer data size is {}".format(X.shape))
8print("breast cancer target size is {}".format(y.shape))
9print("The first five samples of breast cancer {}".format(X[:5]))
10
11train_x, test_x, train_y, test_y = train_test_split(X,
12                                                    y,
13                                                    test_size=0.2,
14                                                    random_state=42)
15
16gnb = GaussianNB()
17gnb.fit(train_x, train_y)
18
19pred_y = gnb.predict(test_x)
20print("The first five prediction {}".format(pred_y[:5]))
21print("The real first five labels {}".format(test_y[:5]))
22print("The confusion matrix is: ")
23cm = metrics.confusion_matrix(test_y, pred_y)
24print(cm)

• 首先，在第6行通过 load_breast_cancer 加载了“乳腺癌”数据集，并将其划分为训练集和测试集。
• 在第16行，使用 GaussianNB() 创建了一个朴素贝叶斯对象。其中 NB 表示朴素贝叶斯，Gaussian 表示对数据分布的高斯假设。
• 本例中，在第23行使用 confusion_matrix 来评估模型性能。