一个简单的模型

在本课程的前几章中，我们学习了数据清洗、数据探索和统计推断。现在，是时候进入数据科学生命周期的最后阶段——通过预测来辅助决策。到目前为止，我们已经发现了数据中一些有意义的模式，但如何利用这些模式来预测未来事件呢？为此，我们将使用模型来进行预测。

建模

一个模型是对某个系统的抽象表示，旨在近似现实世界的现象。例如，艾萨克·牛顿提出了一个关于重力的模型，我们可以用这个模型预测：如果以一定的力度抛出一个球，它会飞多远或多高。在这个重力模型中，影响结果的因素包括球被抛出的力度、球的质量等。同样地，我们也可以建立模型来预测某位客户下个月是否会拖欠信用卡还款，其中客户的还款历史及其他因素可能会影响模型的结果。

建模的方法有很多，衡量模型效果的方式也多种多样。但首先，让我们从一个非常简单的模型开始。

预测服务员小费

我们拥有顾客在餐厅支付小费的数据。我们将尝试建立一个模型，用于预测顾客会支付多少小费。首先加载数据并查看其内容。

1# 小费数据集
2# total_bill: 总账单金额（餐费，含税），单位为美元
3# tip: 小费金额，单位为美元
4# gender: 付款人性别（男、女）
5# smoker: 同行中有吸烟者吗？（0=否，1=是）
6# day: 到店日期
7# time: 到店时间（午餐、晚餐）
8# people: 用餐人数
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10import pandas as pd 
11df = pd.read_csv('tips.csv')
12
13print(df.head())
14print(df.describe())

现在，一个非常简单的模型可以是：顾客总是按总账单金额的 15% 支付小费。数学上表示为：

$预测的小费 = 0.15 \times 总账单金额$

这里的 0.15 称为模型的参数。如果我们用 $\theta$ 表示模型参数，用 $x$ 表示总账单金额，用 $\hat{y}$ 表示预测的小费，则上述公式可写为：

$\hat{y} = \theta x$

因此，我们的简单模型变成一个数学函数 $f(x)$，输入为 $x$，输出为预测的小费。

接下来，我们先创建一列来检查实际的小费占比。

1import pandas as pd 
2import matplotlib.pyplot as plt
3df = pd.read_csv('tips.csv')
4
5# 计算小费百分比
6df['percent_tip'] = df['tip'] * 100.0 / df['total_bill']
7df['percent_tip'] = df['percent_tip'].round()
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9# 绘制小费百分比的频数分布图
10df['percent_tip'].value_counts().plot(kind = 'bar')

在第6行，我们通过将 tip 乘以 100.0 再除以 total_bill 来计算小费的百分比。随后在第7行对结果进行四舍五入，以便于在第10行的图表中更清晰地区分数值。我们首先使用 value_counts 函数获取 percent_tip 各值的出现次数，然后用 plot 函数绘制柱状图。

从图表可以看出，我们之前设定的固定 15% 的预测模型并不能准确预测所有情况。因此可以说，该模型表现不佳。此时，我们需要一种方法来衡量预测值与真实值之间的偏差程度。这正是损失函数的作用。

损失函数

损失函数是一个数学函数，它接收由模型参数预测出的值以及一组真实值（记作 $Y$），并告诉我们模型在整个输入数据集（记作 $X$）上的表现如何。损失函数输出一个单一数值，称为损失，它反映了使用某一模型参数时产生的误差或损失大小。由于损失函数输出的是损失值，因此损失越小，说明模型性能越好。

因此，我们可以通过使用不同的模型参数进行预测，将预测结果输入损失函数，比较不同参数对应的损失值，最终选择使损失函数值最小的那个参数作为最优模型参数。

换句话说，我们选择能够最小化损失函数的模型。

$L(\theta, Y)$

那么，损失函数是如何计算损失的呢？计算损失的方式有很多，针对不同问题设计了多种损失函数，但最常见且最直观的是均方误差损失函数。

均方误差

顾名思义，该损失函数计算的是平方误差的平均值。这是一种非常直观的损失计算方式。下面我们通过一个例子来说明原因。

假设我们仍选择 $\theta = 0.15$。在我们的“小费”数据集中，第一条记录的 total_bill 值为 16.99。

$\hat{y} = \theta x$ $\hat{y} = 0.15 \times 16.99$ $\hat{y} = 2.54$

如果用 $y$ 表示第一条记录的真实小费值，则预测误差为： $y - \hat{y} = 1.01 - 2.54$ $y - \hat{y} = -1.53$

我们可以对所有输入值 ($x_1, x_2, x_3, ..., x_n$) 重复这一过程，计算出所有的误差。由于误差可能为正也可能为负，因此我们取误差的平方。得到所有平方误差后，再求它们的平均值，即可得到当前 $\theta$ 下预测的平均误差。

$L(\theta, Y) = \text{mean}\{(y_1 - \hat{y}_1)^2, (y_2 - \hat{y}_2)^2, (y_3 - \hat{y}_3)^2, ..., (y_n - \hat{y}_n)^2\}$ $L(\theta, Y) = \frac{1}{n} \left( (y_1 - \hat{y}_1)^2 + (y_2 - \hat{y}_2)^2 + (y_3 - \hat{y}_3)^2 + ... + (y_n - \hat{y}_n)^2 \right)$ $L(\theta, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2$

这就是损失函数的基本原理。在下一节课中，我们将用 Python 实现这一损失函数，以找出最适合预测小费的最佳模型。